Question

20．如图，已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，且SD=4，E为侧棱SC的中点．
（1）求证：SA∥平面EDB；
（2）求二面角E-DB-C余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理即可证明SA∥平面EDB；
（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角E-DB-C余弦值的大小．

解答 证明：（1）连接AC交BD于0，
连接OE，
∵E为侧棱SC的中点，0是AC的中点，
∴OE∥SA，
∵SA?平面EDB，OE?平面EDB；
∴SA∥平面EDB．
解：（2）∵侧棱SD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，
∴以D为坐标原点，以DA，DC，DS分别为x，y，z轴，建立空间坐标系如图：
则A（2，0，0），D（0，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0）
S（0，0，4），E（0，1，2），
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DE}$=E（0，1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{y+2z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则y=-2，x=2，
即$\overrightarrow{n}$=（2，-2，1），
平面DBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{{2}^{2}+（-2）^{2}+1}×1}=\frac{1}{\sqrt{9}}$=$\frac{1}{3}$；
即二面角E-DB-C余弦值的大小为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了直线和平面平行的判定定理，考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力．