Question

10．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，D，E分别是AA₁、B₁C₁的中点．
（1）求证：BD⊥平面ACE；
（2）求点E到平面BCD的距离．

Answer 1

分析 （1）建立如图所示的坐标系，证明$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AE}$=0，可得BD⊥AC，BD⊥AE，即可证明BD⊥平面ACE；
（2）求出平面BCD的法向量，再求点E到平面BCD的距离．

解答 （1）证明：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），D（0，0，1），E（1，1，2），
∴$\overrightarrow{BD}$=（0，-2，1），$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（1，1，2），
∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AE}$=0，
∴BD⊥AC，BD⊥AE，
∵AC∩AE=A，
∴BD⊥平面ACE；
（2）解：设平面BCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
∵$\overrightarrow{BD}$=（0，-2，1），$\overrightarrow{BC}$=（2，-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2y+z=0}\\{2x-2y=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∵$\overrightarrow{BE}$=（1，-1，2），
∴点E到平面BCD的距离为$\frac{1-1+4}{\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$

点评 本题给出直三棱柱，求证线面垂直并求点到平面的距离．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，及其应用等知识，正确运用向量法是关键，属于中档题．