Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥BD，且BC∥平面PAD．
（1）求证：PB⊥BC；
（2）若tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，CD=5，PD=3，AD=6，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明AD⊥平面PBD，可得AD⊥PB，利用BC∥平面PAD，可得BC∥AD，即可证明：PB⊥BC；
（2）以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，求出平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．

解答 （1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，
∴AD⊥PD，
∵AD⊥BD，PD∩BD=D，
∴AD⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，
∴AD⊥PB，
∵BC∥平面PAD，底面ABCD∩平面PAD=AD，BC?底面ABCD，
∴BC∥AD，
∴PB⊥BC；
（2）解：由（1）可知，∠DBC=90°，
∵tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，CD=5，∴BC=3，BD=4，
以D为原点，DA，DB，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则D（0，0，0），A（6，0，0），P（0，0，3），C（-3，4，0），
∴$\overrightarrow{PA}$=（6，0，-3），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，3），$\overrightarrow{DC}$=（-3，4，0），
设平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则
由$\left\{\begin{array}{l}{3z=0}\\{-3x+4y=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$=（（4，3，0），
设直线PA与平面PCD所成角为θ，则sinθ=$\frac{24}{\sqrt{36+0+9}•\sqrt{16+9+0}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{25}$，
∴直线PA与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{8\sqrt{5}}{25}$．

点评 本题考查线面平行、垂直的判定、性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用向量法是关键．