Question

19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D，E分别为AB，AC的中点，AB=4，BC=2$\sqrt{2}$，且DE为折痕，将Rt△ADE折起到图2的位置，使平面PDE⊥平面DBCE，连接PC，PB，设G是线段BC的中点，F为线段PC上的动点，满足$\overrightarrow{CF}=λ\overrightarrow{CP}$
（1）当λ为何值时，平面EFG∥平面PDB，试说明理由；
（2）当λ=$\frac{1}{3}$时，求多面体PDBGFE的体积．

Answer 1

分析 （1）λ=$\frac{1}{2}$时，平面EFG∥平面PDB，此时F为PC的中点，证明EG∥平面PDB，FG∥平面PDB即可；
（2）利用割补法，求多面体PDBGFE的体积．

解答 解：（1）λ=$\frac{1}{2}$时，平面EFG∥平面PDB，此时F为PC的中点．
连接EG，则由题意，四边形DEGB是平行四边形，∴EG∥DB，
∵EG?平面PDB，DB?平面PDB
∴EG∥平面PDB，
同理FG∥PB，FG∥平面PDB，
∵EG∩FG=G，
∴平面EFG∥平面PDB；
（2）当λ=$\frac{1}{3}$时，F到平面CEG的距离为$\frac{1}{3}$PD=$\frac{2}{3}$，
∴V_F-CEG=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\frac{2}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$，
∵V_P-DECB=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\sqrt{2}+2\sqrt{2}）×2×2$=2$\sqrt{2}$，
∴多面体PDBGFE的体积为2$\sqrt{2}$-$\frac{2\sqrt{2}}{9}$=$\frac{16\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查图形的翻折，考查平面与平面平行的证明，考查体积的计算，正确证明线面平行是关键．