Question

18．如图，正四棱锥P-ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．
（Ⅰ）若OE=1，求二面角B-PQ-D的平面角的余弦值；
（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P-ABCD和Q-ABCD公共部分的体积．

Answer 1

分析 （I）如图所示，AE=$\sqrt{3}$，OQ=OA=2，点P，Q，A，C在球O的大圆上，COQ为球O的直径．AQ=2．建立如图所示的空间直角坐标系．取平面PQE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0）．设平面PQB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PQ}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$．由对称性可知：二面角B-PQ-D的平面角的余弦值=$2co{s}^{2}＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$-1．
（II）若△QBD是等边三角形，则QA═AB=AD．不妨设OE=x，则AB=AQ=2x，可得AE=$\sqrt{2}$x．在△OEA中，利用勾股定理可得x，可得AB=AQ=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，PE=2+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$．V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×EP•{S}_{正方形ABCD}$，设QC与PA相交于点S．则四棱锥P-ABCD和Q-ABCD公共部分就是四棱锥S-ABCD．由$\frac{QA}{PO}=\frac{AS}{SP}$，可得$\frac{AS}{AP}=2（2-\sqrt{3}）$，因此所求公共部分体积=V_P-ABCD×$2（2-\sqrt{3}）$．

解答 解：（I）如图所示，AE=$\sqrt{3}$，OQ=OA=2，点P，Q，A，C在球O的大圆上，COQ为球O的直径．AQ=2．
建立如图所示的空间直角坐标系．E（0，0，0），P（0，0，3），Q$（\sqrt{3}，0，2）$，B$（0，\sqrt{3}，0）$．
$\overrightarrow{PQ}$=$（\sqrt{3}，-\sqrt{3}，2）$，$\overrightarrow{PB}$=$（0，\sqrt{3}，-3）$，
取平面PQE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0）．
设平面PQB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PQ}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-\sqrt{3}y+2z=0}\\{\sqrt{3}y-3z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（1，3，\sqrt{3}）$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{1×\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
由对称性可知：二面角B-PQ-D的平面角的余弦值=$2co{s}^{2}＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$-1=$\frac{5}{13}$．
（II）若△QBD是等边三角形，则QA═AB=AD．不妨设OE=x，
则AB=AQ=2x，∴AE=$\sqrt{2}$x．
在△OEA中，由OE²+AE²=OA²，
∴x²+2x²=4，解得x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即AB=AQ=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，PE=2+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×EP•{S}_{正方形ABCD}$=$\frac{1}{3}×（2+\frac{2\sqrt{3}}{3}）×（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{32\sqrt{3}（\sqrt{3}+1）}{27}$．
设QC与PA相交于点S．
则四棱锥P-ABCD和Q-ABCD公共部分就是四棱锥S-ABCD．
由$\frac{QA}{PO}=\frac{AS}{SP}$，可得$\frac{AS}{AP}=2（2-\sqrt{3}）$，
∴因此所求公共部分体积=$\frac{32\sqrt{3}（\sqrt{3}+1）}{27}$×$2（2-\sqrt{3}）$=$\frac{64}{27}（3-\sqrt{3}）$

点评 本题考查了正四棱锥的性质、球与圆的性质、线面垂直的性质与判定定理、二面角、向量垂直与数量积的关系、直角三角形的边角关系、倍角公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．