Question

6．正四面体A-BCD，M是棱AB的中点，则CM与面BCD所成的角的正弦值是$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 在正四面体ABCD中，过A作AO⊥平面BCD于点O，则O为底面正三角形BCD的外心，连接BO，过M作MF∥AO，交OD于F，则∠MCF=α，就是CM与平面BCD所成角，解直角三角形CMF即可．

解答 解：设正四面体ABCD的边长为a，高为AO
则O为底面正三角形BCD的外心，过M作MF∥AO，交OD于F，
则MF⊥平面BCD，
则设∠MCF=α，即为CM与平面BCD所成角，
在Rt△ABO中，则BO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，MF=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，
∴sinα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．