Question

7．已知椭圆C的中心是坐标原点O，长轴在x轴上，且经过点$（1，\frac{3}{2}）$．C上任意一点到两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知M，N是椭圆上的两点，且OM⊥ON，求证：$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{ON}|}^2}}}$为定值．

Answer 1

分析 （I）由题意可设椭圆的坐标方程，由题意可得2a=4，求出b²．即可得出椭圆标准方程．
（II）当OM与ON的斜率都存在时，设直线OM的方程为y=kx（k≠0），则直线ON的方程为y=-$\frac{1}{k}$x（k≠0），P（x，y）．直线OM的方程y=kx与椭圆的方程联立，求出|OM|²，同理可得|ON|²，然后化简得到结果．当直线OM或ON的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．

解答 （I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．
∵椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．可得a=2，经过点$（1，\frac{3}{2}）$．
∴$\frac{{1}^{2}}{4}+\frac{{（\frac{3}{2}）}^{2}}{{b}^{2}}=1$，2a=4，解得b²=3．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），
则直线OQ的方程为y=-$\frac{1}{k}$x（k≠0），P（x，y）．
联立$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$，化为x²=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|OM|²=x²+y²=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，同理以$-\frac{1}{k}$代替k可得|ON|²=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{|OM|}^{2}}+\frac{1}{{|ON|}^{2}}$=$\frac{3+4{k}^{2}}{12（1+{k}^{2}）}+\frac{4+3{k}^{2}}{12（1+{k}^{2}）}$=$\frac{7}{12}$为定值．
当直线OM或ON的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．
因此$\frac{1}{{|OM|}^{2}}+\frac{1}{{|ON|}^{2}}$为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题