Question

18．已知函数 f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R）
（1）当a=0时，求函数 f（x）的极值；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，化简f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，从而求导f′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0）；从而确定函数的单调性及极值；
（2）求导f′（x）=（2-a）$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a=$\frac{（ax+1）（2x-1）}{{x}^{2}}$（x＞0），从而分类讨论以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，
f′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，（x＞0）；
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上是减函数，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数；
所以函数 f（x）在x=$\frac{1}{2}$时取得极小值f（$\frac{1}{2}$）=2-2ln2，无最大值；
（2）∵f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax，
∴f′（x）=（2-a）$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a=$\frac{（ax+1）（2x-1）}{{x}^{2}}$（x＞0），
①当a＞0时，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上是减函数，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数；
②当a=0时，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上是减函数，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数；
③当-2＜a＜0时，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）与（-$\frac{1}{a}$，+∞）上是减函数，在（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）上是增函数；
④当a=-2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
⑤当a＜-2时，f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）与（$\frac{1}{2}$，+∞）上是减函数，在（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）上是增函数；
综上所述，
当a≥0时，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上是减函数，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数；
当-2＜a＜0时，f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）与（-$\frac{1}{a}$，+∞）上是减函数，在（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）上是增函数；
当a=-2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；
当a＜-2时，f（x）在（0，-$\frac{1}{a}$）与（$\frac{1}{2}$，+∞）上是减函数，在（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）上是增函数．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．