Question

16．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-$\frac{2}{3}$与x=1时都取得极值，求a，b的值与函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求出f′（x），因为函数在x=-$\frac{2}{3}$与x=1时都取得极值，所以得到f′（-$\frac{2}{3}$）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间．

解答 解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b
由f′（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{12}{9}$-$\frac{4}{3}$a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
解得，a=-$\frac{1}{2}$，b=-2．
f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

x	（-∞，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-$\frac{2}{3}$）和（1，+∞），递减区间是（-$\frac{2}{3}$，1）．

点评 考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，比较基础．