Question

4．已知二次函数f（x）=x²+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集为（m，m+1），（m≠0），设g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）的一个极值点是x=0，求y=g（x）的值域；
（Ⅲ）若函数ϕ（x）=xg（x）存在三个极值点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集为（m，m+1），（m≠0），等价于x²+（a+1-2m）x+m²+m＜0的解集为（m，m+1），利用一元二次方程的根与系数的关系即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$=（x-1）+$\frac{m}{x-1}$．由g′（0）=0，可得m=1，利用基本不等式的性质即可得出值域．
（Ⅲ）由φ（x）=xg（x），可得φ′（x）=g（x）+xg′（x）=$\frac{（2x-1）（x-1）^{2}-m}{（x-1）^{2}}$（x≠1），由题意，函数φ（x）存在三个极值点等价于函数φ′（x）有三个不等的零点，利用导数研究其图象即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集为（m，m+1），（m≠0），
等价于x²+（a+1-2m）x+m²+m＜0的解集为（m，m+1），
∴a+1-2m=-（-2m+1）．
∴a=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$=$\frac{{x}^{2}-2x+m+1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{m}{x-1}$．
由g′（0）=0，可得m=1，
利用基本不等式的性质可得：函数g（x）的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞），
（Ⅲ）由φ（x）=xg（x），可得φ′（x）=g（x）+xg′（x）=$\frac{（2x-1）（x-1）^{2}-m}{（x-1）^{2}}$（x≠1），
由题意，函数φ（x）存在三个极值点等价于函数φ′（x）有三个不等的零点，
由φ′（x）=0，可得m=（2x-1）（x-1）²，
设h（x）=（2x-1）（x-1）²，
h′（x）=2（x-1）²+2（2x-1）（x-1）
=6（x-1）$（x-\frac{2}{3}）$，
令h′（x）＞0，解得x＞1或$x＜\frac{2}{3}$，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得$\frac{2}{3}＜x＜1$，此时函数h（x）单调递减．
可知：当x=$\frac{2}{3}$时，函数h（x）取得极大值$h（\frac{2}{3}）$=$\frac{1}{27}$；当x=1时，函数h（x）取得极小值h（1）=0．
∵h（x）=m有三个不同零点，
∴$h（1）＜m＜h（\frac{2}{3}）$，
∴$0＜m＜\frac{1}{27}$时，φ（x）存在三个极值点．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解转化为函数的交点个数、一元二次不等式的解集，考查了数形结合思想方法、等价转化方法、推理能力与计算能力，属于难题．