Question

3．已知f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+$\frac{8}{3}$．
（1）求f（x）的单调递减区间，
（2）求f（x）在区间[-3，3]上的极大值和极小值．

Answer 1

分析 （1）求出导数，令导数小于0，运用二次不等式的解法，即可得到减区间；
（2）求出导数，列表表示当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况，即可得到极值．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+$\frac{8}{3}$，可得f′（x）=x²+x-2，
令f′（x）＜0 可得 x²+x-2＜0  解之得：-2＜x＜1，
所以f（x）的单调递减区间为（-2，1）．
（2）由f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²-2x+$\frac{8}{3}$，可得：f′（x）=x²+x-2，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	4$\frac{1}{6}$	↗	6	↘	$\frac{3}{2}$	↗	10$\frac{1}{6}$

由上表知，在区间[-3，3]上，当x=-2时，f（x）有极大值6，
当x=1时，f（x）有极小值$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查极值的求法，属于基础题．