Question

10．已知定点A的坐标是（-4，0），椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，F为椭圆的右焦点，M，N两点在椭圆C上，且$\overrightarrow{MF}$=$\overrightarrow{FN}$
（1）求$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{AF}$；
（2）若$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{AN}$=$\frac{106}{3}$，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0），求得向量MF，FN的坐标，由向量相等的条件，结合点在椭圆上满足椭圆方程，可得M，N的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，即可得到所求值；
（2）求得向量AM，AN的坐标，由向量的数量积的坐标表示和离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程．

解答 解：（1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F（c，0），
$\overrightarrow{MF}$=（c-x₁，-y₁），$\overrightarrow{FN}$=（x₂-c，y₂），
由$\overrightarrow{MF}$=$\overrightarrow{FN}$，可得c-x₁=x₂-c，-y₁=y₂，
即有x₁+x₂=2c，y₁²=y₂²，
由M，N两点在椭圆C上，可得
x₁²=a²（1-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$），x₂²=a²（1-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$），
则有x₁²=x₂²，
又x₁+x₂=2c，则x₁=x₂=c，
则M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），N（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
即有$\overrightarrow{MN}$=（0，-$\frac{2{b}^{2}}{a}$），
$\overrightarrow{AF}$=（c+4，0），
则$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{AF}$=0•（c+4）+（-$\frac{{b}^{2}}{a}$）•0=0；
（2）由（1）可得M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），N（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
A（-4，0），
$\overrightarrow{AM}$=（c+4，$\frac{{b}^{2}}{a}$），$\overrightarrow{AN}$=（c+4，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{AN}$=$\frac{106}{3}$，可得（c+4）²-$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$=$\frac{106}{3}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²-b²=c²，
解得c=2，a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
则有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．