Question

6．设函数f（x）=lnx+$\frac{a（x+2）}{x}$，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的极小值；
（2）讨论函数g（x）=f′（x）-$\frac{x}{6}$零点的个数；
（3）若对任意m＞n＞0，$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＜1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）m当a=1时，f（x）=lnx+$\frac{x+2}{x}$，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；
（2）由函数g（x）=f′（x）-$\frac{x}{6}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$-$\frac{x}{6}$，令g（x）=0，求出ma；设φ（x）=a，求出φ（x）的值域，讨论a的取值，对应g（x）的零点情况；
（3）对任意m＞n＞0，$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＜1恒成立，等价于f（m）-m＜f（n）-n恒成立；即h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+$\frac{x+2}{x}$，得f（x）的定义域为（0，+∞）        …（1分）
∴f′（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$                                              …（2分）
∴当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2）上是减函数；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上是增函数；
∴x=2时，f（x）取得极小值f（2）=ln2+2…（4分）
（2）函数g（x）=f′（x）-$\frac{x}{6}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{2a}{{x}^{2}}$-$\frac{x}{6}$（x＞0）
令g（x）=0，得a=$\frac{x}{2}-\frac{{x}^{3}}{12}$，设φ（x）=$\frac{x}{2}-\frac{{x}^{3}}{12}$（x＞0）…（5分）
∴φ′（x）=-$\frac{1}{4}$（x+$\sqrt{2}$）（x-$\sqrt{2}$）
当x∈（0，$\sqrt{2}$）时，φ′（x）＞0，此时φ（x）在（0，$\sqrt{2}$）上单调递增；
当x∈（$\sqrt{2}$，+∞）时，φ′（x）＜0，此时φ（x）在（$\sqrt{2}$，+∞）上单调递减；
∴x=$\sqrt{2}$是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x=$\sqrt{2}$也是φ（x）的最大值点，
∴φ（x）的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$，又φ（0）=0…（6分）
①当a＞$\frac{\sqrt{2}}{3}$时，函数g（x）无零点；
②a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$时，函数g（x）有且仅有一个零点；
③当0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{3}$时，函数g（x）有两个零点；
④a≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；                                   …（8分）
综上所述，当a＞$\frac{\sqrt{2}}{3}$时，函数g（x）无零点；a=$\frac{\sqrt{2}}{3}$或a≤0时，函数g（x）有且仅有一个零点；当0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{3}$时，函数g（x）有两个零点．…（9分）
（3）对任意m＞n＞0，$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＜1恒成立，等价于f（m）-m＜f（n）-n恒成立；…（10分）
设h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{a（x+2）}{x}$-x（x＞0），
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减； …（11分）
∵h′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{2a}{{x}^{2}}-1$≤0在（0，+∞）上恒成立，…（12分）
∴a≥-$\frac{1}{2}$$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{8}$（x＞0）恒成立                         …（13分）
∴a≥$\frac{1}{8}$（对a=$\frac{1}{8}$，h′（x）=0仅在x=$\frac{1}{2}$时成立），
∴a的取值范围是[$\frac{1}{8}$，+∞）  …（14分）

点评 本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题，是难题．