Question

14．已知α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），且α＞β，sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，求：
（1）cos（α+β）；
（2）sin（α-β）；
（3）cos2α

Answer 1

分析 （1）由已知可求α+β的范围，由同角三角函数关系式即可求cos（α+β）的值；
（2）由已知可求α-β的范围，由同角三角函数关系式即可求sin（α-β）的值；
（3）由cos2α=[（α+β）+（α-β）]利用两角和与差的余弦函数公式即可求值．

解答 解：（1）∵α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
∴α+β∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cos（α+β）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=-$\frac{4}{5}$；
（2）∵α∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），且α＞β，
∴α-β∈（0，$\frac{π}{4}$）
∴sin（α-β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=$\frac{5}{13}$；
（3）cos2α=[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{12}{13}$-（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{5}{13}$=-$\frac{33}{65}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．