Question

1．已知四边形ABCD，AD=AB=BD=2，BC⊥BD，BC=$\sqrt{2}$BD，E为CD中点．现将△ABD沿BD折起，使点A到达点P，且AP=$\sqrt{6}$．
（1）求证：BC⊥PD；
（2）求平面PAE与平面PBC所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明BC⊥PD；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面PAE与平面PBC所成二面角的余弦值．

解答 证明：（1）取BD的中点0．连接AO，PO，
∵AD=AB=BD=2，
∴AO⊥BD，PO⊥BD，
且AO=PO=$\sqrt{3}$，
∵AP=$\sqrt{6}$．
∴A0²+B0²=AP²，
即三角形AOP为直角三角形，
∴PO⊥AO，即PO⊥平面ABD，
PO⊥BC，
∵BC⊥BD，BD∩PO=0，
∴BC⊥平面PBD，
∵PD?平面PBD，
∴BC⊥PD；
（2）连接OE，则OE∥BC，
即OE⊥平面PBD，
以O为坐标原点，以OB，OE，OP分别为，x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图：
则O（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），
BC=$\sqrt{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
则C（1，2$\sqrt{2}$，0），
则$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}z=0}\\{2\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则x=$\sqrt{3}$，y=0，
即$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，1），
平面PAE的法向量为$\overrightarrow{OB}$=（1，0，0），
则cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{1×\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即平面PAE与平面PBC所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查空间直线垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决空间二面角的常用方法．