Question

11．已知函数f（x）=lnx-ax²-（1-2a）x（a＞0）．
（1）若?x＞0，使得不等式f（x）＞6a²-4a成立，求实数a的取值范围．
（2）设函数y=f（x）图象上任意不同的两点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为C（x₀，y₀），记直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x₀）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由条件a＞0，x＞0，求得单调区间，进而得到最大值，由存在性思想可得，a-1＞6a²-4a，解不等式即可得到a的范围；
（2））求出直线AB的斜率为k和f′（x₀），整理后把证明k＞f′（x₀）转化为证明$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$．构造函数g（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x＞1），利用导数证明该函数在（1，+∞）上为增函数即可得结论．

解答 解：（1）f（x）=lnx-ax²-（1-2a）x，x＞0，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2ax-（1-2a）=-$\frac{（x-1）（2ax+1）}{x}$，
由a＞0，x＞0，即有2ax+1＞0，
则当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）递减．
则有x=1时，f（x）取得最大值f（1）=ln1-a-（1-2a）=a-1，
由题意可得，a-1＞6a²-4a，解得$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
即实数a的范围是（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）；
（2）证明：不妨设x₁＞x₂＞0，
则$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}+a{{x}_{2}}^{2}-a{{x}_{1}}^{2}+（1-2a）{x}_{2}-（1-2a）{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$-a（x₁+x₂）-（1-2a）．
f′（x₀）=f′（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{-（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}-1）（2a•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+1）}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$
=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-a（x₁+x₂）+2a-1．
令g（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$ （x＞1），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2（x+1）-2（x-1）}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$＞0．
∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（1）=0．
则g（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$＞0
整理得：$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$．
∴$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$-a（x₁+x₂）-（1-2a）＞$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$-a（x₁+x₂）+2a-1．
即k＞f′（x₀）．

点评 本题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查了函数构造法，属于高考试卷中的压轴题．