Question

14．已知函数f（x）=alnx+bx在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，函数f（x）在[1，e]上是单调函数且最小值为0．
（1）求实数a，b；
（2）对一切x∈（0，+∞），xf（x）≤x²-cx+12恒成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件，可得a+b=1，讨论f（x）在[1，e]的单调性，可得最小值，解方程即可得到a，b，注意检验；
（2）运用参数分离，可得c≤x+$\frac{12}{x}$-lnx在（0，+∞）恒成立．令g（x）=x+$\frac{12}{x}$-lnx，x＞0，求得导数和单调区间，即可得到最小值，即可得到c的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=alnx+bx的导数为f′（x）=b+$\frac{a}{x}$，
即有在x=1处的切线斜率为a+b，
由题意可得a+b=1，
若函数f（x）在[1，e]上是单调递增，则f（1）=0，
即有b=0，a=1；
若函数f（x）在[1，e]上是单调递减，则f（e）=0，
即有a+be=0，解得a=$\frac{-e}{1-e}$，b=$\frac{1}{1-e}$，
即有f′（x）=$\frac{1}{1-e}$-$\frac{ex}{1-e}$，在[1，e]上f′（x）＞0，
即有f（x）在[1，e]上递增，不成立．
则有a=1，b=0；
（2）f（x）=lnx，
对一切x∈（0，+∞），xf（x）≤x²-cx+12恒成立，
即有c≤x+$\frac{12}{x}$-lnx在（0，+∞）恒成立．
令g（x）=x+$\frac{12}{x}$-lnx，x＞0，
g′（x）=1-$\frac{12}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-4）（x+3）}{{x}^{2}}$，
当x＞4时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当0＜x＜4时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有g（x）在x=4处取得极小值，也为最小值，且为7-2ln2，
则有c≤7-2ln2．
则c的取值范围是（-∞，7-4ln2]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和二次不等式的解法，运用参数分离和函数的单调性是解题的关键．