Question

19．设P（x，y）是函数y=f（x）的图象上一点，向量$\overrightarrow{a}$=（1，（x-2）⁵），$\overrightarrow{b}$=（1，y-2x），且满足$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，数列{a_n}是公差不为0的等差数列，若f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=36，则a₁+a₂+…+a₉=（　　）

• A． 0
• B． 9
• C． 18
• D． 36

Answer 1

分析 由向量共线求出函数f（x）的解析式，设g（x）=f（x+2），利用函数的奇偶性以及等差数列的性质求出a₅的值，从而求出a₁+a₂+…+a₉的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，（x-2）⁵），$\overrightarrow{b}$=（1，y-2x），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴y-2x-（x-2）⁵=0，
即y=（x-2）⁵+2x，
∴f（x）=（x-2）⁵+2x；
令g（x）=f（x+2）-4=x⁵+2x，
则函数g（x）为奇函数，且是定义域内的增函数，
由f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=36，
得g（a₁-2）+g（a₂-2）+…+g（a₉-2）=0，
又数列{a_n}是公差不为0的等差数列，
∴g（a₅-2）=0，即a₅-2=0，a₅=2，
∴a₁+a₂+…+a₉=9a₅=9×2=18．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算与等差数列的性质以及函数的性质与应用问题，是综合性问题．