Question

14．已知函数 f（x）=ax³+bx²+cx在R上是奇函数，且 f（-1）=-2，f（2）=10．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）说明 f（x）在R上的单调性（不需要证明）；
（Ⅲ）若关于x的不等式 f（x²-9）+f（kx+3k）＜0在 x∈（0，1）上恒成立，求实数k是的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由 f（x）在R上是奇函数可得f（-x）=-f（x），代入整理即可求解b，然后在利用f（-1）=-2，f（2）=10可求a，c
（II）结合函数的单调性的定义即可判断
（III）由f（x²-9）+f（kx+3k）＜0在 且f（x）在R上是奇函数可得f（x²-9）＜f（-kx-3k），结合f（x）在（0，1）上单调性可得x²-9＜-kx-3k即x²+kx+3k-9＜0在 x∈（0，1）上恒成立，法一：令g（x）=x²+kx+3k-9，x∈（0，1），结合二次函数的实根分布即可求解
法二：由x²+kx+3k-9＜0在 x∈（0，1）上恒成立，分离可得k$＜\frac{9-{x}^{2}}{3+x}$=3-x在 x∈（0，1）上恒成立，可求

解答 解：（I）∵f（x）=ax³+bx²+cx在R上是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
即-ax³+bx²-cx=-ax³-bx²-cx
∴2bx=0即b=0
∵f（-1）=-2，f（2）=10．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a-c=-2}\\{8a+2c=10}\end{array}\right.$
解可得，a=c=1
∴f（x）=x³+x
（II）函数f（x）在R上单调递增
（III）∵f（x²-9）+f（kx+3k）＜0在 且f（x）在R上是奇函数
∴f（x²-9）＜-f（kx+3k）=f（-kx-3k）在 x∈（0，1）上恒成立
由（II）知函数f（x）在（0，1）上单调递增
∴x²-9＜-kx-3k即x²+kx+3k-9＜0在 x∈（0，1）上恒成立
法一：令g（x）=x²+kx+3k-9，x∈（0，1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（0）=3k-9≤0}\\{g（1）=4k-8≤0}\end{array}\right.$
解得k≤2
k的取值范围为空{k|k≤2}
法二：∵x²+kx+3k-9＜0在 x∈（0，1）上恒成立
∴（x+3）k＜9-x²
∵x∈（0，1）∴3-x＞0
∴k$＜\frac{9-{x}^{2}}{3+x}$=3-x在 x∈（0，1）上恒成立
令h（x）=3-x，x∈（0，1）
则2＜h（x）＜3
∴k≤2
k的取值范围为空{k|k≤2}

点评 本题综合考查了函数的奇偶性、单调性及函数恒成立问题的应用，解答本题的关键是熟练掌握函数的基本知识并能灵活的应用．