Question

7．设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．
（1）如果a=1，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若x∈[0，+∞）时，恒有f（x）≤0，求实数a的取值范围；
（3）证明：当m＞n＞0时，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer 1

分析 （1）确定函数的定义域，求导函数，从而确定f（x）的单调递减区间；
（2）先确定函数的单调递增区间，再根据f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增，建立不等式，从而可求实数a的取值范围；
（3）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．

解答 （1）解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=1-aln（x+1）-a，
当a=1时，f′（x）=-ln（x+1）
所以f（x）的单调递减区间为（-1，+∞）；
（2）解：①当a=0时，f′（x）=1＞0
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函数，
②当a＞0时，令f′（x）=0，得x=${e}^{\frac{1-a}{a}}$-1，
当f′（x）＞0时，得：-1＜x＜${e}^{\frac{1-a}{a}}$-1，所以f（x）的递增区间为：（-1，${e}^{\frac{1-a}{a}}$-1]．
又因为f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增，
所以e-1≤${e}^{\frac{1-a}{a}}$-1，由此得a≤$\frac{1}{2}$，
综上，得：0≤a≤$\frac{1}{2}$．
（3）要证：（1+m）ⁿ＜（1+n）^m
只需证nln（1+m）＜mln（1+n），
只需证$\frac{ln（1+m）}{m}$＜$\frac{ln（1+n）}{n}$，设g（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$，
则g′（x）=$\frac{\frac{x}{1+x}-ln（1+x）}{{x}^{2}}$=$\frac{x-（1+x）ln（1+x）}{{x}^{2}（1+x）}$，
由（1）知：即当a=1时，f（x）=x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减，
即x＞0时，有f（x）＜f（0），
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，所以g′（x）＜0，
即g（x）是（0，+∞）上的减函数，
即当m＞n＞0时，g（m）＜g（n），
故原不等式成立．

点评 本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查化归思想，考查构造函数，是一个综合题，解题时确定函数的单调性是关键．