Question

14．已知二次函数f（x）=ax²+（a-1）x+a．
（1）函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）函数g（x）=f（x）+$\frac{1-（a-1）{x}^{2}}{x}$在（2，3）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二次函数的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{1-a}{2a}≥-1}\end{array}\right.$，由此求得a的范围．
（2）令g′（x）=0，求得x=$\root{3}{\frac{1}{2a}}$．再根据g（x）在（2，3）上是增函数，可得在（2，3）上，g′（x）＞0，即2ax³-1＞0，故有2a•2³-1≥0，由此求得a的范围．

解答 解：（1）根据二次函数f（x）=ax²+（a-1）x+a在（-∞，-1）上单调递增，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{1-a}{2a}≥-1}\end{array}\right.$，求得a≤-1．
（2）由于函数g（x）=f（x）+$\frac{1-（a-1）{x}^{2}}{x}$=ax²+$\frac{1}{x}$+a，则g′（x）=2ax-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{2{a•x}^{3}-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，求得x=$\root{3}{\frac{1}{2a}}$．
再根据g（x）在（2，3）上是增函数，可得在（2，3）上，g′（x）＞0，即2ax³-1＞0，∴a＞0．
再根据函数y=2ax³-1在R上是增函数，故只要g′（2）=2a•2³-1≥0即可，求得a≥$\frac{1}{16}$．

点评 本题主要考查二次函数的性质，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．