Question

11．设函数f（x）=e^x-1，（e为自然对数底数），g（x）=x³-ax+b，g（x）的导函数为g′（x）．
（Ⅰ）求函数y=f（2x）-2x的最小值．
（Ⅱ）记h（x）=3f（x+2n+1）-n[g′（x）+12x+a+60b]，条件①：对任意x∈[-1，1]，有g（x）≥0；条件②：存在唯一实数x₀，使h（x₀）=h′（x₀）=0，若①、②同时成立，求g（x）、h（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，再根据函数的单调性即可求出最小值；
（Ⅱ）求出g′（x），得到h（x）再求导，根据条件②得到方程组，继而得${{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+20b-4=0$（*），根据判别式求出b的值，继而得到函数h（x）的解析式，
再根据条件①，进行分类讨论，利用函数最值求出a的值，函数g（x）的解析式即可求出．

解答 解：（Ⅰ）∵y=f（2x）-2x，
∴y′=2e^2x-1-2，
由y′≤0，得到x≤$\frac{1}{2}$，∴函数y在（-∞，$\frac{1}{2}$）上为减函数，
由y′＞0，得到x＞$\frac{1}{2}$，∴函数y在（$\frac{1}{2}$，+∞）上为增函数，
∴x=$\frac{1}{2}$时，y_min=0；
（Ⅱ）∵g′（x）=3x²-a，
∴h（x）=3e^x+2n-3n（x²+4x+20b），
∴h′（x）=3e^x+2n-3n（2x+4），
由条件②得$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}+2n}=n（2{x}_{0}+4），（i）}\\{{e}^{{x}_{0}+2n}=n（{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+20b），（ii）}\end{array}\right.$
∴n（${{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+20b$）=n（2x₀+4），
由（i）知n≠0，
∴${{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}+20b$=2x₀+4，
即${{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+20b-4=0$（*），
由条件（2）知，方程（*）的判别式△=4-4（20b-4）=0，
∴b=$\frac{1}{4}$，x₀=-1，
代入（i）有e^2n-1-2n=0，由第（I）小题知，函数y=e^2x-1-2x有最小值0，当且仅当x=$\frac{1}{2}$取到最小值0，
∴方程e^2n-1-2n=0有唯一解n=$\frac{1}{2}$，
∴h（x）=3e^x+1-$\frac{3}{2}$（x²+4x+5），
由b=$\frac{1}{4}$得g（x）=x³-ax+$\frac{1}{4}$，
∴g′（x）=3x²-a，当a≤0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在[-1，1]上为增函数，
由条件①知，只需g（-1）≥0即a≥$\frac{3}{4}$，这与a≤0矛盾；
当a＞0时，由g′（x）＞0，得到x＜-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，或x＞$\sqrt{\frac{a}{3}}$，
由g′（x）≤0，得到-$\sqrt{\frac{a}{3}}$≤x≤$\sqrt{\frac{a}{3}}$，
因此若a≥3，x∈[-1，1]时g′（x）≤0，
∴g（x）在[-1，1]上为减函数由条件①知只需g（1）≥0即a≤$\frac{5}{4}$，这与a≥3矛盾；
若0＜a＜3时，
∵-$\sqrt{\frac{a}{3}}$＞-1，$\sqrt{\frac{a}{3}}$＜1，
∴-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$分别是（-1，1）内的极大值点，极小值点
由条件①知只需$\left\{\begin{array}{l}{g（\sqrt{\frac{a}{3}}）≥0}\\{g（-1）≥0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{3}{4}$，与0＜a＜3相符，
∴g（x）=x³-$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$，
综上可得：g（x）=x³-$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{4}$，h（x）=3e^x+1-$\frac{3}{2}$（x²+4x+5）．

点评 本题考查了导数和函数的单调性极值最值的关系，考查了分类讨论的思想，划归思想，方程思想，培养了学生得运算能力，推理论证能力，属于难题．