Question

12．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=$\sqrt{2}$．
（1）证明：△BDE是锐角三角形；
（2）求二面角D-BC-E的余弦值；
（3）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）借助空间向量来证△BDE是锐角三角形AC，只需在空间直角坐标系下，证明$\overrightarrow{EB}$•$\overrightarrow{ED}$＞0即可；
（2）所求值即为平面BCE的法向量与平面BCD的法向量的夹角的余弦值，计算即可；
（3）先假设直线BE上存在一点M，使得CM∥平面ADE，向量$\overrightarrow{CM}$垂直于平面ADE的法向量，再利用垂直时数量积为0来计算．如能计算出参数λ的值则存在，否则不存在．

解答 （1）证明：以A为坐标原点，AB、AD、AE所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz如图，
则A（0，0，0），E（0，0，$\sqrt{2}$），B（2，0，0）D（0，2，0），
取BD的中点F并连接CF、AF，
由题意可得CF⊥BD且AF=CF=$\sqrt{2}$，
又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，
所以C的坐标为C（1，1，$\sqrt{2}$）．
∵$\overrightarrow{EB}$=（2，0，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{ED}$=（0，2，-$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{EB}$•$\overrightarrow{ED}$=（2，0，-$\sqrt{2}$）•（0，2，-$\sqrt{2}$）=2＞0，
即∠BED为锐角，
又∠EBD、∠EDB也是锐角，
∴△BDE是锐角三角形；
（2）解：设平面BCE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
又∵$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BE}$=（-2，0，$\sqrt{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+y+\sqrt{2}z=0}\\{-2x+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
取z=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），
设平面BCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
又∵$\overrightarrow{BD}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，$\sqrt{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+y+\sqrt{2}z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=0，
即二面角D-BC-E的余弦值为0；
（3）结论：M为BE的中点时使得CM∥平面ADE；
理由如下：
假设存在点M使得CM∥面ADE，则$\overrightarrow{EM}$=λ$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{EB}$=（2，0，-$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{EM}$=（2λ，0，-$\sqrt{2}$λ），∴得M（2λ，0，$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$λ），
又∵AE⊥平面ABD，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADE，
∵CM∥面ADE，∴$\overrightarrow{CM}$⊥$\overrightarrow{AB}$，即$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
得2λ-1=0，∴λ=$\frac{1}{2}$，
故点M为BE的中点时CM∥面ADE．

点评 本题考查用空间向量判断三角形为锐角三角形以及二面角，注意解题方法的积累，属于中档题．