Question

9．已知函数f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+4，其中a＞0．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出a=1的f（x）解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；
（2）方法一、f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立，即为f（x）_min＞0，对a讨论，当0＜a≤1时，当a＞1时，通过导数判断单调性求得最小值，解不等式即可得到a的范围；
方法二、运用参数分离，可得$\frac{3}{2}$a＜$\frac{{x}^{3}+4}{{x}^{2}}$=x+$\frac{4}{{x}^{2}}$，令g（x）=x+$\frac{4}{{x}^{2}}$，通过导数判断单调性，求得g（x）的最小值，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²+4，f′（x）=3x²-3x，
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为k=f′（2）=6，切点为（2，6），
则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-6=6（x-2），
即为6x-y-6=0；
（2）f（x）＞0对x∈[-1，1]恒成立，即为f（x）_min＞0，
由f′（x）=3x²-3ax=0，得x=0或x=a，
（I）当0＜a≤1时，当-1＜x＜0，a＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）递减．
又f（-1）=3-$\frac{3}{2}$a，f（a）=4-$\frac{{a}^{3}}{2}$，
f（-1）-f（a）=）=3-$\frac{3}{2}$a-（4-$\frac{{a}^{3}}{2}$）=$\frac{1}{2}$（a-2）（a+1）²＜0，即有f（-1）＜f（a），
当0＜a≤1时f（x）_min=f（-1）=3-$\frac{3}{2}$a，
由题意只要3-$\frac{3}{2}$a＞0，得a＜2，
所以0＜a＜1．
（II）当a＞1时，当-1＜x＜0，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
f（-1）=3-$\frac{3}{2}$a，f（1）=5-$\frac{3}{2}$a，显然f（-1）＜f（1），
所以f（x）_min=f（-1）=3-$\frac{3}{2}$a，
由题意只要3-$\frac{3}{2}$a＞0，得a＜2，
所以1＜a＜2，
综上（I）（II）可知：0＜a＜2．
（2）解法二：（参变分离）
f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+4＞0对x∈[-1，1]恒成立，
即x³+4＞$\frac{3}{2}$ax²，$\frac{3}{2}$a＜$\frac{{x}^{3}+4}{{x}^{2}}$=x+$\frac{4}{{x}^{2}}$，
令g（x）=x+$\frac{4}{{x}^{2}}$，g′（x）=1-$\frac{8}{{x}^{3}}$=$\frac{8-{x}^{3}}{{x}^{3}}$，
当x∈[-1，0）时，g′（x）＞0，当x∈（0，1]时，g′（x）＜0，
g（-1）=3，g（1）=5，
则g（x）_min=3，只要$\frac{3}{2}$a＜3，得a＜2，
则有0＜a＜2．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查不等式恒成立思想转化为求函数的最值问题，注意运用分类讨论和参数分离的方法，属于中档题和易错题．