Question

4．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x（x∈R）为偶函数．
（1）求常数k的值，并指出当x取何值时函数f（x）的值最小？并求出f（x）的最小值；
（2）设g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）（a≠0），且函数f（x）与g（x）的图象有公共点，求实数a的取值范围
（3）指出实数a不同取值时，（2）中函数图象交点的个数．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是定义域R上的偶函数，得f（-x）=f（x），取特殊值x=1，求出k的值；
利用偶函数的图象与性质，得出x=0时f（x）的值最小，求出最小值f（0）；
（2）利用g（x）=f（x），讨论方程的实数解与函数零点的关系，求出两函数图象有公共点时a的取值范围；
（3）由（2）知，函数f（x）与g（x）的图象有1个或2个交点时，对应a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x为定义域R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即log₄（4^-x+1）-（k-1）（-x）=log₄（4^x+1）-（k-1）x，
令x=1，即log₄$\frac{5}{4}$+（k-1）=log₄5-（k-1），
∴2（k-1）=1，
解得k=$\frac{3}{2}$；
∴f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x，
根据函数f（x）是定义域上的偶函数，
∴当x=0时f（x）的值最小，最小值为f（0）=log₄2=$\frac{1}{2}$；
（2）∵g（x）=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a）（a≠0），
f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄（4^x+1）-log₄（2^x）=log₄$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$，
令f（x）=g（x），则
log₄$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=log₄（a•2^x-$\frac{4}{3}$a），
∴$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=a•2^x-$\frac{4}{3}$a，
不妨设t=2^x，t＞0；
∴$\frac{{t}^{2}+1}{t}$=at-$\frac{4}{3}$a，
即t²+1=at²-$\frac{4}{3}$at，
整理，得（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0，
设u（t）=（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1，t＞0；
两函数图象有公共点，等价于函数u（t）有正实数根，
①当a=1时 t=-$\frac{3}{4}$不满足题意，舍去；
②当△=0时 a=$\frac{3}{4}$ 或a=-3，
若a=$\frac{3}{4}$，则t=-$\frac{1}{2}$＜0不满足题意，舍去；
若a=-3，则t=$\frac{1}{2}$满足题意，
③当一正根一负根时，有根的分布情况得（a-1）•u（0）＜0，
∴a＞1，
综上，a=-3或a＞1时，两函数的图象有1个交点；
④当有两个正根时，$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{16}{9}a}^{2}+4（a-1）＞0}\\{\frac{4a}{3（a-1）}＞0}\\{\frac{-1}{a-1}＞0}\end{array}\right.$，
解得a＜-3，此时两函数图象有2个交点；
∴当函数f（x）与g（x）的图象有交点时，a的取值范围是{a|a≤-3或a＞1}；
（3）由（2）知，a=-3或a＞1时，函数f（x）与g（x）的图象有1个交点，
a＜-3时，函数f（x）与g（x）的图象有2个交点．

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用问题，也考查了函数的图象与性质的应用问题，考查了方程思想与转化思想的应用问题，是综合性题目．