Question

11．据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟，该校随机抽取部分新入校的学生就其上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图．
（1）为减轻学生负担，学校规定上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在校内住宿，请根据抽样数据估计该校600名新生中有多少学生可以申请在校内住宿．
（2）从新入校的学生中任选4名学生，以频率分布直方图中的频率作为概率，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图的性质可得：20×（0.0030+0.0021+0.0014）×600．即可估计该校600名新生中可以申请在校内住宿的人数．
（2）任选4名学生中，而上学所需时间少于20分钟的人数=20×0.0125×4=1．可得X～B$（4，\frac{1}{4}）$．利用二项分布列及其数学期望公式即可得出．

解答 解：（1）由频率分布直方图的性质可得：20×（0.0030+0.0021+0.0014）×600=78．
因此根据抽样数据估计该校600名新生中有78名学生可以申请在校内住宿．
（2）任选4名学生中，而上学所需时间少于20分钟的人数=20×0.0125×4=1．
∴X～B$（4，\frac{1}{4}）$．
由题意可得X的取值为0，1，2，3，4．
P（X=k）=${∁}_{4}^{k}（\frac{1}{4}）^{k}（\frac{3}{4}）^{4-k}$，（k=0，1，2，3，4）．
E（X）=$4×\frac{1}{4}$=1．

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列及其数学期望公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．