Question

10．如图所示正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，线段B₁D₁上有两个动点E，F且EF=$\sqrt{2}$，给出下列五个结论
①AC⊥BE
②EF∥平面ABCD
③异面直线AE，BF所成的角为60°
④A1点到面BEF的距离为定值
⑤三棱柱A-BEF的体积为定值
其中正确的结论有：①②④⑤（写出所有正确结论的编号）

Answer 1

分析 ①AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；
②EF∥平面ABCD，可由线面平行的定义请线面平行；
③由两个极端位置说明两异面直线所成的角不是定值；
④A₁点到面DD₁B₁B距离是定值，所以A₁点到面BEF的距离为定值；
⑤三棱锥A-BEF的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值．

解答 解：①AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD₁B₁B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；
②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；
③由图知，当F与B₁重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A₁AO，当E与D₁重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC₁，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值，故不正确．
④A₁点到面DD₁B₁B距离是定值，所以A₁点到面BEF的距离为定值，正确；
⑤三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD₁B₁B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确．
故答案为：①②④⑤．

点评 本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证．