Question

15．设数列{a_n}前n项和S_n，且S_n=2a_n-2，（n∈N⁺）．
（1）试求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}使a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N⁺）成立，求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=2a_n-2及a_n+1=S_n+1-S_n可得数列{a_n}是公比为2的等比数列，再令n=1可得首项，进而可得结论；
（2）通过a_n+1b_n+1=（2n+1）•2ⁿ⁺²+2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹-2及（1），可得结论．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（2a_n+1-2）-（2a_n-2）=2a_n+1-2a_n，
即a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是公比为2的等比数列，
又a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2，
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（2）∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N⁺），
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n+a_n+1b_n+1=（2n+1）•2ⁿ⁺²+2，
两式相减，得a_n+1b_n+1=（2n+1）•2ⁿ⁺²+2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹-2=（2n+3）•2ⁿ⁺¹，
又∵a_n+1=2ⁿ⁺¹，∴b_n+1=$\frac{（2n+3）•{2}^{n+1}}{{2}^{n+1}}$=2n+3，
∵a₁b₁=2b₁=（2-1）•2²+2，∴b₁=3，
∴b_n=2n+1．

点评 本题考查求数列的通项，通过对表达式的灵活变形是解决本题的关键，属于中档题．