Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x，a∈R．
（1）若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，对任意x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，分解因式，由题意可得f′（x）=0有两个不相等的正根，即有-a＞0且-a≠2，即可得到a的范围；
（2）假设存在实数a使得对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞a恒成立，假设0＜x₁＜x₂，则f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）-ax，只要使函数g（x）在定义域内为增函数即可，利用其导函数恒大于等于0可求解a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x的导数为：
f′（x）=x-$\frac{2a}{x}$+a-2=$\frac{{x}^{2}+（a-2）x-2a}{x}$=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$，
由于函数f（x）有两个极值点，则f′（x）=0有两个不相等的正根，
即有-a＞0且-a≠2，解得a＜0且a≠-2．
则有a的取值范围是（-∞，-2）∪（-2，0）；
（2）假设存在实数a使得对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞a恒成立，
不妨设0＜x₁＜x₂，则f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立．
令g（x）=f（x）-ax，只要g（x）在（0，+∞）为增函数．
又函数g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx-2x．
考查函数g′（x）=x-$\frac{2a}{x}$-2=$\frac{{x}^{2}-2x-2a}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}-1-2a}{x}$．
要使g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
只要-1-2a≥0，即a≤-$\frac{1}{2}$，
故存在实数a∈（-∞，$\frac{1}{2}$]，
对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞a恒成立．

点评 本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了利用导数求函数的极值和最值，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造函数法解决不等式恒成立问题，属于中档题．