Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中有一椭圆，椭圆方程为C：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．左右焦点分别F₁（-1，0）和（1，0）．设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，AF₂与BF₁交于点P．求证：PF₁+PF₂是定值．

Answer 1

分析 首先设出直线AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my，通过联立直线方程和椭圆方程求得
|AF₁|=$\frac{\sqrt{2}（{m}^{2}+1）+m\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$，|BF₂|=$\frac{\sqrt{2}（{m}^{2}+1）-m\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$，利用直线AF₁与直线BF₂平行，点B在椭圆上知，可得PF₁=$\frac{A{F}_{1}}{A{F}_{1}+B{F}_{2}}$×（$2\sqrt{2}$-BF₂），PF₂=$\frac{B{F}_{2}}{A{F}_{1}+B{F}_{2}}$×（$2\sqrt{2}$-AF₁）．由此可求得PF₁+PF₂是定值．

解答 证明：由椭圆方程得：F₁（-1，0），F₂（1，0），
又∵直线AF₁与直线BF₂平行，
∴设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{{x}_{1}+1=m{y}_{1}}\end{array}\right.$，可得（m²+2）${{y}_{1}}^{2}$-2my₁-1=0．
∴${y}_{1}=\frac{m+\sqrt{2{m}^{2}+2}}{{m}^{2}+2}$，
∴|AF₁|=$\frac{\sqrt{2}（{m}^{2}+1）+m\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$①，
同理|BF₂|=$\frac{\sqrt{2}（{m}^{2}+1）-m\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$②，
∵直线AF₁与直线BF₂平行，∴$\frac{PB}{P{F}_{1}}=\frac{B{F}_{2}}{A{F}_{1}}$，即PF₁=$\frac{A{F}_{1}}{A{F}_{1}+B{F}_{2}}$×BF₁．
由点B在椭圆上知，BF₁+BF₂=$2\sqrt{2}$，∴PF₁=$\frac{A{F}_{1}}{A{F}_{1}+B{F}_{2}}$×（$2\sqrt{2}$-BF₂）．
同理PF₂=$\frac{B{F}_{2}}{A{F}_{1}+B{F}_{2}}$×（$2\sqrt{2}$-AF₁）．
∴PF₁+PF₂=$\frac{A{F}_{1}}{A{F}_{1}+B{F}_{2}}$×（$2\sqrt{2}$-BF₂）+$\frac{B{F}_{2}}{A{F}_{1}+B{F}_{2}}$×（$2\sqrt{2}$-AF₁）
=$2\sqrt{2}-\frac{2A{F}_{1}×B{F}_{2}}{A{F}_{1}+B{F}_{2}}$．
由①②得，AF₁+BF₂=$\frac{2\sqrt{2}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$，AF₁×BF₂=$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}+2}$，
∴PF₁+PF₂=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴PF₁+PF₂是定值．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．