Question

5．政府向市民宣传绿色出行（即乘公共汽车、地铁或步行出行），并进行广泛动员，三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了100户家庭，调查了他们在政府动员后三个月的月平均绿色出行次数（单位：次），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）．
（1）请估计该小区在政府动员后平均每月绿色出行多少次；
（2）由直方图可以认为该小区居民绿色出行次数M服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为小区平均绿色出行次数，σ²近似为绿色出行次数的方差．
①利用该正态分布求P（13＜M＜65）；
（注：P（μ-σ＜M＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜M＜μ+2σ）=0.9544）．
②为了解动员后市民的出行情况，媒体计划在上述家庭中，从政府动员后月均绿色出行次数在[5，25）范围内的家庭中选出5户作为采访对象，其中在[5，15）内抽到X户，求P（X=4）．

Answer 1

分析 （1）取各个区间中点值为区间代表计算，即可求出；
（2）①由（1）知Z～N（39，169），从而P（13＜Z＜65）=P（39-26＜Z＜39+26）=0.9544；
②月均绿色出行次数在[5，25）范围内的家庭中，[5，15）有5户，[15，25）有10户，即可求出P（X=4）．

解答 解：（1）取各个区间中点值为区间代表计算得：
$\overline{x}$=10×0.05+20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.25+60×0.1=39，
s²=（-29）²×0.05+（-19）²×0.1+（-9）²×0.2+1×0.3+11²×0.25+21²×0.1=169．
（2）①由（1）知Z～N（39，169），从而P（13＜Z＜65）=P（39-26＜Z＜39+26）=0.9544；
②月均绿色出行次数在[5，25）范围内的家庭中，[5，15）有5户，[15，25）有10户，
所以P（X=4）=$\frac{{C}_{5}^{4}{C}_{10}^{1}}{{C}_{15}^{5}}$=$\frac{50}{3003}$．

点评 本题主要考查频率分布直方图，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．