Question

14．数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合．
（1）求巧合数ξ的分布列；
（2）求巧合数ξ的期望和方差．

Answer 1

分析 数字1，2，3，4，5任意排成一列，其基本事件的总数为：${A}_{5}^{5}$，有1个巧合，即为有一个数字恰好在其位置，其他4个数字均不在对应位置，依次求出巧合数为1的情况，进而得出P（ξ=1）．

解答 解：（1）数字1，2，3，4，5任意排成一列，其基本事件的总数为：${A}_{5}^{5}$，
ξ=5时，5个数字均在对应位置，有1种情况，P（ξ=5）=$\frac{1}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{1}{120}$；
ξ=4，4个数字在对应位置，不可能出现，P（ξ=4）=0；
ξ=3，有3个数在对应位置，另外2个数互换位置，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{10}{120}$；
ξ=2，有2个数在对应位置，另外3个数不在对应位置，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}×2}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{20}{120}$；
ξ=1，有1个数在对应位置，另外4个数不在对应位置，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}×3×3}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{45}{120}$；
ξ=0，所有5个数均不在对应位置，P（ξ=0）=$\frac{4×[2+3×（1+2）]}{{A}_{5}^{5}}$=$\frac{44}{120}$；
所以，巧合数ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	5
P	$\frac{44}{120}$	$\frac{45}{120}$	$\frac{20}{120}$	$\frac{10}{120}$	$\frac{1}{120}$

（2）巧合数ξ的期望：E（ξ）=0×$\frac{44}{120}$+1×$\frac{45}{120}$+2×$\frac{20}{120}$+3×$\frac{10}{120}$+5×$\frac{1}{120}$=1；
巧合数ξ的方差：D（ξ）=E（ξ²）-[E（ξ）]²=2-1=1．

点评 本题考查随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．