Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{2}^{1-x}（x≥1）}\\{{x}^{2}-3x+2（x＜1）}\end{array}\right.$，则方程4f（x）=1的实根个数为2．

Answer 1

分析 求出函数f（x）=-2^-（x-1）+1在[1，+∞）上为增函数，且值域为[0，1）；函数f（x）=x²-3x+2在（-∞，1）上为减函数，且f（x）∈（-∞，0）．把方程4f（x）=1的实根个数，转化为函数y=f（x）与y=$\frac{1}{4}$两图象交点的个数得答案．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{2}^{1-x}（x≥1）}\\{{x}^{2}-3x+2（x＜1）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-（x-1）}+1（x≥1）}\\{{x}^{2}-3x+2（x＜1）}\end{array}\right.$，
当x≥1时，x-1≥0，-（x-1）≤0，0＜2^-（x-1）≤1，
∴0≤-2^-（x-1）+1＜1，且在[1，+∞）上f（x）=-2^-（x-1）+1为增函数；
而f（x）=x²-3x+2在（-∞，1）上为减函数，且f（x）∈（-∞，0）．
由4f（x）=1，得f（x）=$\frac{1}{4}$．
∴函数y=f（x）与y=$\frac{1}{4}$有2个交点．
即方程4f（x）=1的实根个数为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了根的存在性及根的个数判断，考查了数学转化思想方法，考查了函数的单调性及函数值域的求法，是中低档题．