Question

18．已知函数f（x）=12lnx+3x²-18x+8a．
（1）若a=2，求f（x）的极大值和极小值；
（2）若对任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求出单调区间，求得极值；
（2）对任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，即为对任意的x∈（0，4]，f（x）_max＜4a．求得f（x）在（0，4]上的最大值，即可得到a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=12lnx+3x²-18x+8a的导数为f′（x）=$\frac{12}{x}$+6x-18
=$\frac{6（x-2）（x-1）}{x}$，
当x＞2或0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1），（2，+∞）递增；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）在（1，2）递减．
即有f（x）在x=1处取得极大值，且为1，
在x=2处取得极小值，且为12ln2-8；
（2）对任意的x∈（0，4]，f（x）＜4a恒成立，
即为对任意的x∈（0，4]，f（x）_max＜4a．
由f（x）在（0，1），（2，4）递增，在（1，2）递减，
又f（1）=8a-15，f（2）=12ln2-24+8a，f（4）=12ln4-24+8a，
即有f（4）为最大值，
则4a＞12ln4-24+8a，
解得a＜6-3ln4．
则a的取值范围是（-∞，6-3ln4）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查求极值、最值的方法，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．