Question

3．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的直线与椭圆C相交于A、B两点，∠F₁F₂B=$\frac{2π}{3}$，△F₁F₂A的面积是△F₁F₂B的面积的2倍，若|AB|=$\frac{15}{2}$，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 设直线AB的方程为：$\frac{1}{\sqrt{3}}y=x-c$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．不妨设y₁＜0，y₂＞0．与椭圆方程联立可得：（b²+3a²）y²+$2\sqrt{3}{b}^{2}cy$-3b⁴=0，由△F₁F₂A的面积是△F₁F₂B的面积的2倍，可得|y₁|=2|y₂|，再利用根与系数的关系及a²=b²+c²，可得b²=$\frac{5{c}^{2}}{4}$，a²=$\frac{9{c}^{2}}{4}$．利用|AB|=$\frac{15}{2}$，即可解出．

解答 解：设直线AB的方程为：$\frac{1}{\sqrt{3}}y=x-c$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．不妨设y₁＜0，y₂＞0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{\sqrt{3}}y=x-c}\\{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\end{array}\right.$，
化为（b²+3a²）y²+$2\sqrt{3}{b}^{2}cy$-3b⁴=0，
y₁+y₂=-$\frac{2\sqrt{3}{b}^{2}c}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-3{b}^{4}}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$，
∵△F₁F₂A的面积是△F₁F₂B的面积的2倍，
∴|y₁|=2|y₂|，
∴y₂=$\frac{2\sqrt{3}{b}^{2}c}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$，y₁=-$\frac{4\sqrt{3}{b}^{2}c}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$，
∴-$\frac{2\sqrt{3}{b}^{2}c}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$×$\frac{4\sqrt{3}{b}^{2}c}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$=$\frac{-3{b}^{4}}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$，
化为b²+3a²=8c²．
又a²=b²+c²，
∴b²=$\frac{5{c}^{2}}{4}$，a²=$\frac{9{c}^{2}}{4}$．
∵|AB|=$\frac{15}{2}$，
∴|F₂B|=$\frac{1}{3}|AB|$=$\frac{5}{2}$，
∴y₁=|F₂B|sin60°=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
x₁=c+|F₂B|=c+$\frac{5}{4}$．
∴${b}^{2}（c+\frac{5}{4}）^{2}+{a}^{2}×（\frac{5\sqrt{3}}{4}）^{2}$=a²b²，
化为${b}^{2}（c+\frac{5}{4}）^{2}+\frac{75{a}^{2}}{16}$=a²b²，
∴c²-2c-8=0，
解得c=4，
∴b²=20，a²=36．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．