Question

8．如图，椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右支上（x轴上方），连结AP交C₁与点C，连结PB并延长交C₁于点D，且△ACD与△PCD的面积相等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角．

Answer 1

分析 由△ACD与△PCD的面积相等，可得C为AP的中点，A（-2，0），B（2，0），设P（m，n），运用中点坐标公式和点P，C满足双曲线方程和椭圆方程，求得P的坐标，可得C的坐标，由直线的斜率公式，可得PD的斜率，再求D的坐标，即可得到直线CD的倾斜角．

解答 解：由△ACD与△PCD的面积相等，可得C为AP的中点，
A（-2，0），B（2，0），设P（m，n），则C（$\frac{m-2}{2}$，$\frac{n}{2}$），
由P在双曲线上，C在椭圆上，可得
$\frac{{m}^{2}}{4}$-$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，$\frac{（m-2）^{2}}{16}$+$\frac{{n}^{2}}{12}$=1，
解得m=4，n=3．
即有P（4，3），C（1，$\frac{3}{2}$），
PD的斜率为$\frac{3-0}{4-2}$=$\frac{3}{2}$，
直线PD：y=$\frac{3}{2}$（x-2），代入椭圆方程可得，
x²-3x+2=0，解得x=1或2，
即有D（1，-$\frac{3}{2}$），
则直线CD的倾斜角为90°．
故直线PD的斜率为$\frac{3}{2}$，直线CD的倾斜角为90°．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查椭圆方程和双曲线方程的运用，考查直线的斜率和倾斜角的求法，注意直线方程和曲线方程联立，属于中档题．