Question

20．已知A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），则原点O到面ABC的距离为$\frac{6}{7}$．

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{AB}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，3），$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0），求出平面ABC的法向量，利用向量法能求出原点O到平面ABC的距离．

解答 解：∵A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，3），$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{-x+3z=0}\end{array}\right.$，
取x=6，得$\overrightarrow{n}$=（6，3，2），
∴原点O到平面ABC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{\sqrt{36+9+4}}$=$\frac{6}{7}$．
故答案为：$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．