Question

5．已知函数f（x）=$\frac{3x}{2x+1}$，数列{a_n}满足：a₁=$\frac{3}{2}$，且a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，n≥2）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：a₁a₂a₃…a_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合数列的函数特性得到数列递推式，进一步构造出等比数列数列{$\frac{1}{{a}_{n}}-1$}，求其通项公式后可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把证明a₁a₂a₃…a_n＜2转化为证明a₁a₂a₃…a_n＜$2•\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}}$，然后利用数学归纳法证明．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=$\frac{3x}{2x+1}$，a_n=f（a_n-1），得${a}_{n}=\frac{3{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}（n≥2）$，
即$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{{a}_{n-1}}+\frac{2}{3}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}-1=\frac{1}{3}（\frac{1}{{a}_{n-1}}-1）$（n≥2），
∵a₁=$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{{a}_{1}}-1=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}-1$}是以-$\frac{1}{3}$为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}}-1=-\frac{1}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}=-（\frac{1}{3}）^{n}$，
∴${a}_{n}=\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$；
（Ⅱ）证明：当n=2时，a₁a₂ =$\frac{3}{2}×\frac{9}{8}=\frac{27}{16}$＜$\frac{16}{9}$=2$•\frac{9-1}{9}$＜2．
假设当n=k（k≥2）时，a₁a₂…a_k ＜2$•\frac{{3}^{k}-1}{{3}^{k}}$＜2，
那么，当n=k+1时，a₁a₂…a_k a_k+1＜2•$\frac{{3}^{k}-1}{{3}^{k}}$$•\frac{{3}^{k+1}}{{3}^{k+1}-1}$． 
要证明2•$\frac{{3}^{k}-1}{{3}^{k}}$$•\frac{{3}^{k+1}}{{3}^{k+1}-1}$＜$2•\frac{{3}^{k+1}-1}{{3}^{k+1}}$，
只需证明 3^k+1•3^k+1 （ 3^k-1）＜3^k•（3^k+1-1）²，
只要证 3×3^k+1（ 3^k-1）＜（3^k+1-1）²，3^2k+2-3^k+2＜3^2k+2-2•3^k+1+1，
3^k+2＞2•3^k+1-1，3^k+1＞-1．
而3^k+1＞-1 显然成立，∴n=k+1 时，a₁a₂…a_k a_k+1＜2$•\frac{{3}^{k+1}-1}{{3}^{k+1}}$＜2，
综上得a₁a₂…a_k a_k+1＜2•$\frac{{3}^{k+1}-1}{{3}^{k+1}}$＜2．
又当n=1时，a₁=$\frac{3}{2}$＜2，
∴a₁a₂a₃…a_n＜$2•\frac{{3}^{n}-1}{{3}^{n}}$＜2．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的构造和通项公式的求法，训练了利用数学归纳法证明数列不等式，属难度较大的题目．