Question

14．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）一个顶点为A（0，1），直线l：y=-x+2恰好与椭圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过顶点A做两条互相垂直的直线分别交椭圆于B、C（点B在y轴的左边），求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得b=1，将直线y=2-x代入椭圆方程，运用判别式为0，解得a，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线AB：y=kx+1，k＞0，代入椭圆方程可得，B的坐标，设直线y=-$\frac{1}{k}$x+1，代入椭圆方程可得，C的坐标，再由三角形的面积公式，S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|，运用两点的距离公式和函数的单调性，计算即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得b=1，
直线l：y=-x+2代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
可得（b²+a²）x²-4a²x+4a²-a²b²=0，
由直线和椭圆相切可得判别式为0，
即16a⁴-4（b²+a²）（4a²-a²b²）=0，
即16a⁴-4（1+a²）（4a²-a²）=0，
解得a=$\sqrt{3}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（Ⅱ）设直线AB：y=kx+1，k＞0，代入椭圆方程可得，
（1+3k²）x²+6kx=0，
解得x=0或-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，
可得B（-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{1-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$），
设直线y=-$\frac{1}{k}$x+1，代入椭圆方程可得，
C（$\frac{6k}{{k}^{2}+3}$，$\frac{{k}^{2}-3}{{k}^{2}+3}$），
则△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{36{k}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}+\frac{36{k}^{4}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}}$•$\sqrt{\frac{36{k}^{2}}{（{k}^{2}+3）^{2}}+\frac{36}{（{k}^{2}+3）^{2}}}$
=$\frac{18（k+{k}^{3}）}{3{k}^{4}+10{k}^{2}+3}$=$\frac{18（k+\frac{1}{k}）}{10+3（{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$，
令k+$\frac{1}{k}$=t（t≥2），则S=$\frac{18t}{3{t}^{2}+4}$=$\frac{18}{3t+\frac{4}{t}}$，
由3t+$\frac{4}{t}$的导数为3-$\frac{4}{{t}^{2}}$在[2，+∞）为正，则为递增，
即有S≤$\frac{18}{6+2}$=$\frac{9}{4}$，
则当t=2即k=1时，△ABCD的面积取得最大值，且为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，注意直线方程联立椭圆方程，运用判别式为0，和求交点，考查运算能力，属于中档题．