Question

17．在直线x-3y-2=0上求两点，使它与点（-2，2）构成等边三角形的三个顶点．

Answer 1

分析 求出点到直线的距离的距离，推出等边三角形的边长，利用直线与圆的交点求解即可．

解答 解：点（-2，2）到直线x-3y-2=0的距离为：$\frac{|-2-6-2|}{\sqrt{10}}$=$\sqrt{10}$，
则所求正三角形的边长为$\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$，
则以（-2，2）为圆心，以$\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$为半径的圆的方程为：（x+2）²+（y-2）²=$\frac{400}{3}$．
由x-3y-2=0代入圆的方程可知：（3y+4）²+（y-2）²=$\frac{400}{3}$．
解得y=1±$\frac{\sqrt{111}}{3}$．
当y=1+$\frac{\sqrt{111}}{3}$．可得x=5+$\sqrt{111}$，
当y=1-$\frac{\sqrt{111}}{3}$．可得x=5-$\sqrt{111}$，
所求交点坐标为：（5+$\sqrt{111}$，1+$\frac{\sqrt{111}}{3}$）（5-$\sqrt{111}$，1-$\frac{\sqrt{111}}{3}$）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，三角形的顶点的求法，考查计算能力．