某电视台为庆祝元宵节上映了一种猜灯谜游戏.其规则为:在编号1234的不透明箱子内各放有三个不相同的小灯笼.每个小灯笼上都有一个谜语.参赛者从任意一个箱子中随机抓取若干个小灯笼进行破解谜题．(1)小陈随机抓了4个小灯笼.求至少有三个是3号 4号箱子的小灯笼概率．(2)设小陈对3号.4号箱内的灯笼上的谜语猜对的概率为$\frac{4}{5}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．某电视台为庆祝元宵节上映了一种猜灯谜游戏，其规则为：在编号1234的不透明箱子内各放有三个不相同的小灯笼，每个小灯笼上都有一个谜语，参赛者从任意一个箱子中随机抓取若干个小灯笼进行破解谜题．
（1）小陈随机抓了4个小灯笼，求至少有三个是3号 4号箱子的小灯笼概率．
（2）设小陈对3号，4号箱内的灯笼上的谜语猜对的概率为$\frac{4}{5}$．对1号，2号箱内的灯笼上的谜语猜对的概率为$\frac{3}{5}$．若他从1号，3号，4号箱子内各抓取一个灯笼进行谜语破解，求他能够破解的谜语的个数的分布列和期望．

分析（1）先求出没有条件限制，小陈随机抓了4个小灯笼的基本事件的种数，再根据分类计数原理求出至少有三个是3号 4号箱子的小灯笼的种数，根据概率公式计算即可；
（2）确定他能够破解的谜语的个数的取值，求出相应的概率，即可求出他能够破解的谜语的个数的分布列和期望．

解答解：（1）没有条件限制，小陈随机抓了4个小灯笼的基本事件有${C}_{12}^{4}$=495种，
至少有三个是3号，4号箱子的小灯笼，分为两类，当3，4号箱子为3个时，有${C}_{6}^{3}{C}_{6}^{1}$=120种，
当3，4号箱子为4个时，有${C}_{6}^{4}$=15种，
所以至少有三个是3号，4号箱子的小灯笼有120+15=135种，
故至少有三个是3号 4号箱子的小灯笼概率$\frac{135}{495}$=$\frac{3}{11}$；
（2）设他能够破解的谜语的个数为ξ，则ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}$=$\frac{2}{125}$，P（ξ=1）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×2$=$\frac{19}{125}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}×2$+$\frac{2}{5}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{56}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{48}{125}$，
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{2}{125}$	$\frac{19}{125}$	$\frac{56}{125}$	$\frac{48}{125}$

Eξ=0×$\frac{2}{125}$+1×$\frac{19}{125}$+2×$\frac{56}{125}$+3×$\frac{48}{125}$=$\frac{11}{5}$．

点评本题考查了分类计数原理和古典概率的问题，考查他能够破解的谜语的个数的分布列和期望．正确求概率是关键，属于中档题．

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