Question

10．已知函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$（x＞0，x≠1）
（1）求函数f（x）的极值
（2）若不等式${e}^{\frac{x}{a}}$＞x对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先确定函数的定义域，再求导函数，确定函数的单调区间，从而确定函数f（x）的极值；
（2）当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立；当x＞0时，在${e}^{\frac{x}{a}}$＞x两边取自然对数，得$\frac{x}{a}$＞lnx，再分0＜x≤1，x＞1，进行讨论，进而可求a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x}{lnx}$的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=$\frac{lnx-1}{l{n}^{2}x}$，
令f′（x）=0，解得x=e，列表

x	（0，1）	（1，e）	e	（e，+∞）
f′（x）	-	-	0	+
f（x）	单调递减	单调递减	极小值f（e）	单调递增

由表得函数f（x）的单调减区间为（0，1），（1，e），单调减区间为（e，+∞）；
所以极小值为f（e）=e，无极大值．
（2）当x≤0时，对任意a≠0，不等式恒成立；
当x＞0时，在${e}^{\frac{x}{a}}$＞x两边取自然对数，得$\frac{x}{a}$＞lnx，
1°当0＜x≤1时，lnx≤0，当a＞0，不等式恒成立；如果a＜0，lnx＜0，alnx＞0，不等式等价于a＜$\frac{x}{lnx}$，
由（1）得，此时$\frac{x}{lnx}$∈（-∞，0），不等式不恒成立．
2°当x＞1时，lnx＞0，则a＞0，不等式等价于a＜$\frac{x}{lnx}$，
由（1）得，此时$\frac{x}{lnx}$的最小值为e，得0＜a＜e．
综上：a的取值范围是0＜a＜e．

点评 本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，同时考查分类讨论的数学思想，有综合性．