Question

18．己知函数f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+b}$在x=1处取得极值为2，设函数y=f（x）图象上任意一点（x，f（x））处的切线斜率为k．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若对于任意0＜x₁＜x₂＜1，存在k，使得k=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，求证x₁＜|x|＜x₂．

Answer 1

分析 （1）先求导，根据导数的几何意义，得到k的表达式，再根据二次函数的性质，求出k的取值范围；
（2）由（1）知，函数f（x）在（-1，1）单调递增，即得到k＞0，构造函数令h（x）=f（x）-kx，则h（x₁）=h（x₂），利用导数和函数的极值的关系，求证得到h（x₀）为h（x）的唯一极大值，问题得以证明．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{ab-a{x}^{2}}{（{x}^{2}+b）^{2}}$，
由f′（1）=0，即f（1）=2，解得a=4，b=1，
∴k=f′（x₀）=4[$\frac{2}{（1+{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$-${\frac{1}{1+{{x}_{0}}^{2}}}^{\;}$]，
设t=$\frac{1}{1+{{x}_{0}}^{2}}$，t∈（0，1]，
∴k=4（2t²-1）=8（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{2}$，
∵k=4（2t²-t）=8（t-$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{2}$在（0，$\frac{1}{4}$]上为减函数，在（$\frac{1}{4}$，1]上为增函数，
当t=$\frac{1}{4}$时，k有最小值为-$\frac{1}{2}$，当x=1时，有最大值为4，
∴k∈[$-\frac{1}{2}$，4]；
（2）证明：由（1）知f′（x）=$\frac{4-4{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得-1＜x＜1，函数f（x）在（-1，1）单调递增，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴k=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，
∴x₀∈（-1，1）
∵f′（x₀）=f′（-x₀），
故只需要证明x₀∈（0，1）时结论成立，
∵k=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
∴f（x₂）-kx₂=f（x₁）-kx₁，
令h（x）=f（x）-kx，则h（x₁）=h（x₂），
∴h′（x）=f′（x）-k，则h′（x₀）=0
设g（x）=$\frac{1-x}{（1+x）^{2}}$，x∈（0，1），
∴g′（x）=$\frac{x-3}{（1+x）^{3}}$＜0，
∴g（x）为减函数，
∴f′（x）为减函数，
∴当x＞x₀时，有f′（x）＜f′（x₀）=k，此时h′（x）＜0，h（x）为减函数，
当x＜x₀时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，
∴h（x₀）为h（x）的唯一极大值，
因此要使h（x₁）=h（x₂），必有证x₁＜x₀＜x₂．
综上，有x₁＜|x|＜x₂．

点评 本题考查了导数的几何意义，以及导数和函数的极值的关系，关键是构造函数，培养可学生得转化能力，运算能力，属于难题．