Question

3．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，AB=2BC=4，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥DC，EF=2，且平面ABCD⊥平面CDEF，AF⊥CF．
（Ⅰ）过BD与AF平行的平面与CF交于点G．求证：G为CF的中点；
（Ⅱ）求二面角B-AF-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BD于点H，连接GH．利用线面平行的性质定理及三角形中位线定理可得结论；
（Ⅱ）以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz所求值即为平面ABF的法向量与平面ADF的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC交BD于点H，ABCD为矩形，则H为AC中点，连接GH．
∵AF∥平面BDG，平面ACF∩平面BDG=GH，
∴AF∥HG．∴G为CF的中点．
（Ⅱ）解：在平面CDEF上作FO⊥CD，垂足为O，
∵平面CDEF为等腰梯形，AB=4，EF=2，∴OC=1，
∵平面ABCD⊥平面DCFE，∴FO⊥平面ABCD，
在平面ABCD中，作OM⊥CD交AB于M，所以FO⊥OM，
如图，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
则A（2，-3，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-3，0）．
设F（0，0，h）（h＞0）．
∵AF⊥CF，∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{CF}$=0，即（-2，3，h）•（0，-1，h）=0，
所以0-3+h²=0，解得h=$\sqrt{3}$．
设平面ABF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
而$\overrightarrow{AF}$=（-2，3，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（0，4，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2a+3b+\sqrt{3}c=0}\\{4b=0}\end{array}\right.$，
令c=2，解得a=$\sqrt{3}$，b=0．所以$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，2）．
由于$\overrightarrow{AD}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{CF}$=（0，-1，$\sqrt{3}$），
所以$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CF}$=0，CF⊥AD，
又CF⊥AF，所以CF⊥平面ADF，
所以$\overrightarrow{CF}$为平面ADF的法向量，
cos＜$\overrightarrow{CF}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
由图知，二面角B-AF-D的平面角为钝角，
所以二面角B-AF-D的余弦值为-$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查用空间向量求二面角，注意解题方法的积累，属于中档题．