Question

1．求函数f（x）=$\frac{1+sinx+cosx}{1+sinx-cosx}$的奇偶性．

Answer 1

分析 先根据三角函数的公式进行化简，求出函数的定义域，然后结合函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：由1+sinx-cosx=0得，
$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）=-1，
即sin（x-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即x-$\frac{π}{4}$=$±\frac{π}{4}+kπ$，
即x=$\frac{π}{4}$$±\frac{π}{4}+kπ$，
即x=kπ+$\frac{π}{2}$或x=kπ，k∈Z，
即要使函数有意义，则x≠kπ+$\frac{π}{2}$且x≠kπ，k∈Z，
则定义域关于原点对称，
f（x）=$\frac{1+sinx+cosx}{1+sinx-cosx}$=$\frac{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+2co{s}^{2}\frac{x}{2}}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+2si{n}^{2}\frac{x}{2}}$=$\frac{2cos\frac{x}{2}（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}{2sin\frac{x}{2}（sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）}$=$\frac{cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$=$\frac{1}{tan\frac{x}{2}}$，
则f（-x）=$\frac{1}{tan（-\frac{x}{2}）}$=-$\frac{1}{tan\frac{x}{2}}$=-f（x），
即函数f（x）是奇函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及三角函数的化简，考查学生的运算能力．