Question

2．已知点P（$\frac{3}{2}$，-1）在抛物线E：x²=2py（p＞0）的准线上，过点P作抛物线的切线，若切点A在第一象限，F是抛物线E的焦点，点M在直线AF上，点N在圆C：（x+2）²+（y+2）²=1上，则|MN|的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{6}{5}$
• C． 2
• D． 6$\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 利用已知条件求出抛物线方程，然后求出AF的方程，利用圆心到直线的距离求解|MN|的最小值．

解答 解：点P（$\frac{3}{2}$，-1）在抛物线E：x²=2py（p＞0）的准线上，
可得p=2，抛物线方程为：y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，∴y′=$\frac{1}{2}$x．
设A（a，$\frac{1}{4}{a}^{2}$），
∴$\frac{{\frac{1}{4}a}^{2}+1}{a-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}a$，解得a=4，a=-1（舍去）．
切点坐标（4，4），F（0，1），直线F的方程为：y-1=$\frac{3}{4}x$，即3x-4y+4=0．
点M在直线AF上，点N在圆C：（x+2）²+（y+2）²=1上，则|MN|的最小值就是圆心到直线的距离减去半径，即：$\frac{|-6+8+4|}{\sqrt{{3}^{2}+{（-4）}^{2}}}-1$=$\frac{1}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．