Question

19．甲乙两同学相约游玩某一个景区，进景区前了解到景区共有6个景点，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时．
（1）如果6个景点中有4个人文景观和2个自然景观，求甲同学至少游览一个自然景观的概率．
（2）求他们最后一小时在同一个景点的概率．

Answer 1

分析 （1）利用排列组合知识求出甲同学从6个景点中任选4个游览，共有不同的方法种数，再由分类加法求出至少游览一个自然景观的游览种数，然后由古典概型概率计算公式得答案；
（2）求出两同学从6个景点中任选4个游览，共有不同的方法种数，再求出他们最后一小时在同一个景点的游览方法种数，由古典概型概率计算公式得答案．

解答 解：（1）甲同学从6个景点中任选4个游览，共有不同的方法种数为${A}_{6}^{4}$种，至少游览一个自然景观的游览种数为（${C}_{4}^{3}•{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{2}•{C}_{2}^{2}$）$•{A}_{4}^{4}$种．
∴甲同学至少游览一个自然景观的概率P=$\frac{（{C}_{4}^{3}•{C}_{2}^{1}+{C}_{4}^{2}•{C}_{2}^{2}）•{A}_{4}^{4}}{{A}_{6}^{4}}=\frac{14}{15}$．
（2）甲同学从6个景点中任选4个游览，共有不同的方法种数为${A}_{6}^{4}$，乙同学从6个景点中任选4个游览，共有不同的方法种数为${A}_{6}^{4}$，
则两同学从6个景点中任选4个游览，共有不同的方法种数为${A}_{6}^{4}•{A}_{6}^{4}$种．
他们最后一小时在同一个景点的游览方法种数为${C}_{6}^{1}•{A}_{5}^{3}•{A}_{5}^{3}$种．
则他们最后一小时在同一个景点的概率P=$\frac{{C}_{6}^{1}•{A}_{5}^{3}•{A}_{5}^{3}}{{A}_{6}^{4}•{A}_{6}^{4}}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合及其相关知识，关键是对题意的理解，是中档题．