Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1的右焦点为F，定点A（4，1），P是椭圆C上的动点，则|PA|+|PF|的取值范围是（　　）

• A． [10-$\sqrt{65}$，10+$\sqrt{65}$]
• B． [2，18]
• C． [$\frac{13}{5}$，9+$\sqrt{82}$]
• D． [10-$\sqrt{65}$，10]

Answer 1

分析 设F′是椭圆的左焦点，F′（-4，0）．可得|AF′|．由椭圆的定义可得|PF|+|PF′|=2a，于是|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF′|，利用三角形三边大小关系即可得出．

解答 解：如图所示，
设F′是椭圆的左焦点，F′（-4，0）．
∴|AF′|=$\sqrt{{8}^{2}+1}$=$\sqrt{65}$．
∵|PF|+|PF′|=2a=10，
∴|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF′|≤2a+|AF′|=10+$\sqrt{65}$．
又∴|PA|+|PF|=|PA|+2a-|PF′|=2a-（|PF′|-|PA|）≥10-|AF′|=$10-\sqrt{65}$．
∴|PA|+|PF|的取值范围是$[10-\sqrt{65}，10+\sqrt{65}]$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形三边大小关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．