Question

11．设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1与抛物线C₂：y²=8x的一个交点坐标为（x₀，y₀），直线y=m（0＜m＜|y₀|）与函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2x}（0＜x＜{x}_{0}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{16-{x}^{2}}（4＞x＞{x}_{0}）}\end{array}\right.$的图象交于A、B两点，其坐标分别为（x_A，y_A），（x_B，y_B），且x_A＜x_B，点N为抛物线的焦点，求△ABN的周长的取值范围．

Answer 1

分析 可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出交点坐标，可得A，B点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点横坐标范围计算即可．

解答 解：由椭圆方程和抛物线方程联立，
解得x₀=$\frac{4}{3}$，y₀=±$\sqrt{\frac{32}{3}}$，
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2x}，0＜x＜\frac{4}{3}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{16-{x}^{2}}，\frac{4}{3}＜x＜4}\end{array}\right.$，
直线y=m（0＜m＜$\sqrt{\frac{32}{3}}$），
作出函数y=f（x）和直线y=m的图象，
由图象可得A在抛物线上，B在椭圆上，
由焦半径公式可得，△ABN的周长为
|AN|+|BN|+|AB|=x_A+$\frac{p}{2}$+a-ex_B+x_B-x_A
=2+4-$\frac{1}{2}$x_B+x_B=6+$\frac{1}{2}$x_B，
由x_B∈（$\frac{4}{3}$，4），
可得6+$\frac{1}{2}$x_B∈（$\frac{20}{3}$，8）．
故△ABN的周长的取值范围是（$\frac{20}{3}$，8）．

点评 本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知，属于中档题．