Question

7．如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：$\sqrt{2}$．
（1）若AD=$\frac{1}{2}$BC，E为PC的中点，求证：DE∥平面PAB；
（2）求直线PB与平面PAD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）取中的，利用中位线得出AD∥EM，AD=EM，再利用直线平面的平行问题求解．
（2）建立空间坐标系，求解平面的法向量，利用向量求解sinθ=cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{PB}$＞即可．

解答 解：（1）取PB中点M，连接DE，EM，AM，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，E为PC的中点，
∴EM∥BC，EM=$\frac{1}{2}BC$，
∴AD∥EM，AD=EM，
即四边形ADEM为平行四边形，
∴DE∥AM，
∵ED?平面PAB，AM?平面PAB；
∴DE∥平面PAB；


（2）以DA，DC，DP为x，y，z轴，直线PB与平面PAD所成角的大小θ．
PD：DC：BC=1：1：$\sqrt{2}$．
设DC=1，则DP=1，DA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴P（0，0，1），A（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），B（$\sqrt{2}$，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}$，1，-1），$\overrightarrow{DA}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，1），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=0}\end{array}\right.$
即x=0，z=0，y=1
∴$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{PB}$=1，|$\overrightarrow{n}$=1，|$\overrightarrow{PB}$|=2，
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|•\overrightarrow{PB}}$=$\frac{1}{2}$，
∴sinθ=$\frac{1}{2}$，
即θ=$\frac{π}{6}$

点评 本题综合考查了空间直线平面的平行问题，运用空间向量求解平面的法向量，夹角问题，注意坐标要计算准确，保证向量的运算不出错．